Équation polynômiale (2) - Corrigé

Énoncé

On note $(E)$ l'équation :  $z^4+2z^3+14z^2+58z+85=0$ , d'inconnue $z\in \mathbb{C}$ .

1. Montrer que, si $z\in \mathbb{C}$ est une solution de $(E)$ , alors $\bar{z}$ est aussi une solution de $(E)$ .

2. Vérifier que $-2+i$ est solution de $(E)$ .

3. En déduire une autre solution de $(E)$ .

4. Pour $z\in \mathbb{C}$ , développer $(z-(-2-i))(z-(-2+i))$ .

5. Montrer qu'il existe des réels $a,b$  et $c$ tels que, pour tout $z\in \mathbb{C}$ , $z^4+2z^3+14z^2+58z+85=(z^2-4z+5)(a{z}^2+bz+c)$ .

6. En déduire les solutions de $(E)$ .

Solution

1. Soit $z\in \mathbb{C}$ une solution de $(E)$ , alors $z^4+2z^3+14z^2+58z+85=0$ ,
donc $\overline{z^4+2z^3+14z^2+58z+85}=\bar{0}=0$  
donc $\overline{z^4}+\overline{2z^3}+\overline{14z^2}+\overline{58z}+85=0$
donc  ${\bar{z}}^4+2{\bar{z}}^3+14{\bar{z}}^2+58\bar{z}+85=0$  
donc $\bar{z}$ est une solution de $(E)$ .
2.  $\begin{array}{rl}(-2+i{)}^4+2\times (-2+i{)}^3+14\times (-2+i{)}^2+58(-2+i)+85& =(4-4i-1{)}^2+2(-2+i)(4-4i-1)+14(4-4i-1)-31+58i\\ & =(3-4i{)}^2+2(-2+i)(3-4i)+14(3-4i)-31+58i\\ & =-7-24i+2(-2+11i)+42-56i-31+58i\\ & =0\end{array}$
donc $-2+i$ est solution de $(E)$ .

3. $-2+i$ est solution de $(E)$  donc, d'après la question 1, $\overline{-2+i}$ est solution de $(E)$ , donc $-2-i$ est solution de $(E)$ .

4. Pour $z\in \mathbb{C}$ , $(z-(-2-i))(z-(-2+i))=z^2+4z+5$ .

5. Soit $a,b$ et $c$ des réels.  Pour $z\in \mathbb{C}$ , $\begin{array}{rl}(z^2+4z+5)(a{z}^2+bz+c)& =a{z}^4+4a{z}^3+5a{z}^2+b{z}^3+4b{z}^2+5bz+c{z}^2+4cz+5c\\ & =a{z}^4+(4a+b)z^3+(5a+4b+c)z^2+(5b+4c)z+5c\end{array}$
Donc pour que, pour tout $z\in \mathbb{C}$ ,   $(z^2+4z+5)(a{z}^2+bz+c)=z^4+2z^3+14z^2+58z+85$ , il suffit que, pour tout $z\in \mathbb{C}$ , $a{z}^4+(4a+b)z^3+(5a+4b+c)z^2+(5b+4c)z+5c=z^4+2z^3+14z^2+58z+85$ ,  il suffit que
$\{\begin{array}{l}a=1\\ 4a+b=2\\ 5a+4b+c=14\\ 5b+4c=58\\ 5c=85\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\\ c=17\end{array}$
Donc, pour tout $z\in \mathbb{C}$ , $(z^2+4z+5)(z^2+-2z+17)=z^4+2z^3+14z^2+58z+85$ .

6. Finalement, avec les questions précédentes, on obtient :
pour tout $z\in \mathbb{C}$ ,
$\begin{array}{r}{z}^4+2z^3+14z^2+58z+85=0\\ & ⟺(z^2+4z+5)(z^2+-2z+17)=0\\ & ⟺(z-(-2-i))(z-(-2+i))(z^2+-2z+17)=0\\ & ⟺z-(-2-i)=0\text{ ou }z-(-2+i)=0\text{ ou }(z^2+-2z+17)=0⟺z=-2-i\text{ ou }z=-2+i\text{ ou }(z^2+-2z+17)=0\end{array}$
Et le trinôme du second degré $z^2+-2z+17$ a pour discriminant  $\mathrm{\Delta }=(2{)}^2-4\times 1\times 17=-64$ . $\mathrm{\Delta }<0$ , donc l'équation $z^2+-2z+17=0$ a deux solutions complexes conjuguées : $z_1=\frac{-(-2)+i\sqrt{64}}{2\times 1}=1+4i$  et  $z_2=\overline{z_1}=1-4i$ .

Finalement, $S=\{-2+i;-2-i;1-4i;1+4i\}$ .