Équation polynômiale (2) - Corrigé

Énoncé

On note \((E)\) l'équation :  \(z^4 + 2 z^3 + 14 z^2 + 58 z + 85 =0\) , d'inconnue \(z \in \mathbb{C}\) .

1. Montrer que, si \(z \in \mathbb{C}\) est une solution de \((E)\) , alors \(\overline{z}\) est aussi une solution de \((E)\) .

2. Vérifier que \(-2+i\) est solution de \((E)\) .

3. En déduire une autre solution de \((E)\) .

4. Pour \(z \in \mathbb{C}\) , développer \((z-(-2-i))(z-(-2+i))\) .

5. Montrer qu'il existe des réels \(a , b\)  et \(c\) tels que, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(z^4 + 2 z^3 + 14 z^2 + 58 z + 85 = (z^2 - 4 z + 5) (az^2 + bz + c)\) .

6. En déduire les solutions de \((E)\) .

Solution

1. Soit \(z \in \mathbb{C}\) une solution de \((E)\) , alors \(z^4 + 2 z^3 + 14 z^2 + 58 z + 85 =0\) ,
donc \(\overline{z^4 + 2 z^3 + 14 z^2 + 58 z + 85} = \overline{0} = 0\)  
donc \(\overline{z^4} + \overline{2z^3} + \overline{14z^2} + \overline{58z} + 85 =0\)
donc  \(\overline{z}^4 + 2 \overline{z}^3 + 14 \overline{z}^2 + 58 \overline{z} + 85 =0\)  
donc \(\overline{z}\) est une solution de \((E)\) .
2.  \(\begin{align*}(-2+i)^4 + 2\times (-2+i)^3 + 14 \times (-2+i)^2 + 58 (-2+i) + 85& = (4-4i-1)^2 +2 (-2+i)(4-4i-1) + 14 (4-4i-1) -31 + 58i\\ & = (3-4i)^2 +2 (-2+i)(3-4i) +14 (3-4i) -31 + 58i\\ & = -7-24i + 2 (-2+11i) + 42 - 56 i -31 + 58i\\ & = 0\end{align*}\)
donc \(-2+i\) est solution de \((E)\) .

3. \(-2+i\) est solution de \((E)\)  donc, d'après la question 1, \(\overline{-2+i}\) est solution de \((E)\) , donc \(-2-i\) est solution de \((E)\) .

4. Pour \(z \in \mathbb{C}\) , \((z-(-2-i))(z-(-2+i)) = z^2 + 4 z + 5\) .

5. Soit \(a , b\) et \(c\) des réels.  Pour \(z \in \mathbb{C}\) , \(\begin{align*}(z^2 + 4 z + 5) (az^2 + bz + c)& = a z^4 + 4 a z^3 + 5 a z^2 + b z^3 + 4 b z^2 + 5 b z + c z^2 + 4 c z + 5 c\\ & = a z^4 + (4a+b) z^3 + (5a+4b+c)z^2 + (5b+4c)z + 5c\end{align*}\)
Donc pour que, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) ,   \((z^2 + 4 z + 5) (az^2 + bz + c) = z^4 + 2 z^3 + 14 z^2 + 58 z + 85\) , il suffit que, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(a z^4 + (4a+b) z^3 + (5a+4b+c)z^2 + (5b+4c)z + 5c = z^4 + 2 z^3 + 14 z^2 + 58 z + 85\) ,  il suffit que
\(\begin{cases}a = 1 \\4a+b = 2 \\5a+4b+c = 14 \\5b+4c = 58 \\5c = 85\end{cases}\iff\begin{cases}a = 1 \\b = -2 \\c = 17\end{cases}\)
Donc, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \((z^2 + 4 z + 5) (z^2 + -2z + 17) = z^4 + 2 z^3 + 14 z^2 + 58 z + 85\) .

6. Finalement, avec les questions précédentes, on obtient :
pour tout \(z \in \mathbb{C}\) ,
\(\begin{align*}z^4 + 2 z^3 + 14 z^2 + 58 z + 85=0\\ &\iff (z^2 + 4 z + 5) (z^2 + -2z + 17) =0\\ &\iff (z-(-2-i))(z-(-2+i)) (z^2 + -2z + 17) =0\\ &\iff z-(-2-i)=0 \text{ ou } z-(-2+i)=0 \text{ ou } (z^2 + -2z + 17) =0\iff z=-2-i \text{ ou } z=-2+i \text{ ou } (z^2 + -2z + 17) =0\end{align*}\)
Et le trinôme du second degré \(z^2 + -2z + 17\) a pour discriminant  \(\Delta = (2)^2-4\times 1 \times 17 =-64\) . \(\Delta < 0\) , donc l'équation \(z^2 + -2z + 17 = 0\) a deux solutions complexes conjuguées : \(z_1 = \frac{-(-2)+i \sqrt{64} }{2 \times 1}= 1+4i\)  et  \(z_2 = \overline{z_1} = 1-4i\) .

Finalement, \(S = \left\lbrace -2+i ; -2-i ; 1-4i ; 1+4i \right\rbrace\) .